Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．

（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；

（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，

∵FC=FO，FH⊥OC，

∴CH=OH=，∠CHF=90°．

∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，

∴△CHF∽△BCA．

∴=．

∵CH=，AB=10，BC=6，

∴CF=．

∴CF的长为．

（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，

则有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴=．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM=．

∴CM=AC﹣AM=．

②若△OMN∽△BOC，如图3，

则有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴==．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON=，CN=．

过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，

∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，

∴∠MNO=∠MON．

∴MN=MO．

∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，

∴NG=OG=．

∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，

∴△MGN∽△ACB．

∴=．

∵GN=，BC=6，AB=10，

∴MN=．

∴CM=CN﹣MN=﹣=．

∴当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．