Question

如 图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）。

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由。

               题25-1图                     题25备用图

Answer 1

解：（1）当t=2时，DH=AH=4，由AD⊥AB，AD⊥EF可知EF∥BC

        ∴ ，

      又∵ AB=AC，AD⊥BC

        ∴ BD=CD

        ∴ EH=FH

        ∴ EF与AD互相垂直平分

        ∴ 四边形AEDF为菱形

   （2）依题意得DH=2t，AH=8－2t，BC=10cm，AD=8cm，由EF∥BC知△AEF∽△ABC

        ∴ 即，解得

        ∴

        即△PEF的面积存在最大值10cm²，此时BP=3×2=6cm。

   （3）过E、F分别作EN⊥BC于N，EM⊥BC于M，易知EF=MN=

        EN=FM，由AB=AC可知BN=CM=

        在和中，由， 即，

解得，又由知，

，

        则 ，   

          

分三种情况讨论：

     ①若∠EPF=90°，则，解得，（舍去）

②若∠EFP=90°，则，解得，（舍去）

③若∠FEP=90°，则，解得，（均舍去）

综上所述，当或时，△PEF为直角三角形。