Question

已知：如图所示，在△ABC中，点D为AC上一点，CD：AD=1：2，∠BCA=45°，∠BDA=60°，AE⊥BD，点E为垂足，连接CE．
（1）写出图中相等的线段；
（2）写出图中各对相似三角形；
（3）求

S△CDE

S△CEA

的值．

Answer 1

分析：（1）由∠BDA=60°，AE⊥BD，即可得

ED

AD

=

1

2

，又由CD：AD=1：2，即可得DE=CD，即可求得∠DBC=∠BCE=15°，则可得BE=CE，又由∠EAD=∠ECA=30°，求得AECE，则可得AE=BE=CE；
（2）由∠ECD=∠DEC=∠EAC=30°，根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△CEA∽△CDE，由∠ABE=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAB，即可得△ADB∽△ABC；
（3）由△CEA∽△CDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答：解：（1）CD=DE，AE=BE=CE；（3分）

（2）△CEA∽△CDE，△ADB∽△ABC；（2分）

（3）在△CEA和△CDE中，
∵AE⊥BD，∠BDA=60°，
∴∠DAE=30°，
∴

ED

AD

=

1

2

，（1分）
∵

CD

AD

=

1

2

，
∴CD=ED，（1分）
∴∠DCE=∠DEC=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠DAE=∠DEC=30°，（1分）
∴△CEA∽△CDE；（1分）
∴

S△CDE

S△CEA

=(

ED

AE

)2=(

1

3

)2=

1

3

．（1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是数形结合思想的应用，注意有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．