Question

已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm．两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动．
（1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米²？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？
（2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米²？试说明理由．
（3）经过几秒时以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）若使其面积为4，即S_△PCQ=

1

2

PC•QC=4，代入数据求解即可；
（2）若四边形ABPQ的面积能否等于11，即S_△PCQ=

5×7

2

-11=

13

2

，建立方程，解方程看是否有解，若有，则存在；
（3）要使三角形相似，其对应边成比例即可．

解答：解：（1）可设经x秒后其面积为4，
即

1

2

×（5-x）×2x=4，
解得x=1，
即经过1秒后，其面积等于4厘米²．
当经过t秒后PQ=5，
∵PC²+CQ²=PQ²，
∵PC=5-t，CQ=2t，PQ=5，
∴（5-t）²+（2t）²=5²，
解得：t=0或2，
∴当经过0秒或2秒后PQ=5；

（2）若四边形ABPQ的面积能否等于11厘米²，即S_△PCQ=

5×7

2

-11=

13

2

，
即

1

2

×（5-x）×2x=

13

2

，
化简得2x²-10x+13=0
△=b²-4ac=10×10-4×2×13＜0，
所以此方程无解．
故四边形ABPQ的面积不能等于11厘米²．

（3）若两个三角形相似，当PQ∥AB，即

5-x

x

=

2x

7-2x

，
解得x=

35

17

．
当PQ不平行AB时，

2x

5-x

=

5

7

解得：x=

25

19

即经过

35

17

或

25

19

秒后两三角形相似．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形的面积问题，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算问题．