Question

已知：如图所示，在平面直角坐标系中，函数y=

m

x

（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1，直线AB交y轴于点E．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接DC．
（1）求m的值；
（2）求证：四边形ACDE为平行四边形；
（3）若AB=CD，求直线AB的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）直接将A的值代入函数 y=

k

x

中，即可得出k的值，便可得出解析式；
（2）通过求点E的坐标求得线段OE的长等于ED的长，然后利用对边平行且相等的四边形为平行四边形来判定平行四边形．
（3）利用证得的平行四边形的性质证得AE为中位线求得点B的坐标，然后用待定系数法确定一次函数的解析式．

解答：解：（1）∵函数y=

m

x

经过点A（1，4），
∴4=

m

1

（1分），
∴m=4，

（2）设直线AB的解析式为y=kx+n，
∵直线AB经过点A（1，4），B（a，b），（2分）
∴

4=k+n b=ak+n

，
解得：k=

b-4

a-1

，n=

4a-b

a-1

，
∴y=

b-4

a-1

x+

4a-b

a-1

（3分），
∴E(0，

4a-b

a-1

)，即OE=

4a-b

a-1

，
又∵BD⊥y轴，
∴OD=b（4分）
∴ED=

4a-b

a-1

-b=

4a-ab

a-1

，
又∵点B（a，b）在函数y=

m

x

上，
∴ab=m=4（5分），
∴ED=

4a-ab

a-1

=

4a-4

a-1

=4，
又∵AC⊥x轴，
∴AC=4（6分），
∴AC∥ED，AC=ED，
∴四边形ACDE为平行四边形；

（3）∵四边形ACDE为平行四边形，
∴AE=CD，
又∵AB=CD（7分），
∴AE=AB，
过点A作AF⊥y轴，则AF∥DB，AF=1，
∴AF为△EBD的中位线（8分），
BD=2AF=2，即a=2（9分），
∵ab=4，∴b=2，
将a=2，b=2代入y=

b-4

a-1

x+

4a-b

a-1

中得y=-2x+6，
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+6．（10分）

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，其中渗透了平行四边形的判定和性质，是一道难度较大的反比例函数综合题．