Question

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）

• A、15
• B、25
• C、55
• D、1225

Answer 1

分析：图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即

n(n+1)

2

；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n²．然后把下列数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件就是所求．

解答：解：根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为

n(n+1)

2

；
正方形数第n个图中点的个数为n²，
A、令

n(n+1)

2

=15，解得n₁=5，n₂=-6（不合题意，舍去）；再令n²=15，n=±

15

（不合题意，都舍去）；不符合条件，错误；
B、令

n(n+1)

2

=25，解得n₁=

-1± 201

2

（都不合题意，舍去）；再令n²=25，n=±5；不符合条件，错误；
C、显然55不是平方数，不符合条件，错误；
D、令

n(n+1)

2

=1225，解得n₁=49，n₂=-50（不合题意，舍去）；再令n²=1225，n₁=35，n2=-35（不合题意，舍去），符合条件，正确．
故选D．

点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．