Question

（2011•太原二模）古希腊人常用小石子在 沙滩上摆放成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1、3、6、10、…，由于这些数（小石子）能够摆成三角形，将其称为三角数；类似地，称图2中的1、4、9、16、…这样的数为正方形数．请你分别写出符合下列条件的一个数（要求：所写数不能使图1、图2中已有的数）．是三角形但不是正方形数：

15

；是正方形数但不是三角形数：

25

；既是三角形数又是正方形数：

1225

．

Answer 1

分析：根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式任意写出一个数，符合第一个通项公式不符合第二个通项公式就是三角形的数不是正方形数，任意写出一个数，符合第二个通项公式不符合第一个通项公式就是正方形数不是三角形数，任意写出一个数，既符合第一个通项公式也符合第二个通项公式就是三角形数又是正方形数．

解答：解：∵图1中第一个图有1个点，1=

1

2

（1+1）
第二个图有3个点，3=

2

2

（2+1），
第三个图有6个点，6=

3

2

（3+1），
…，
∴第n个图的点数是 a_n=

n

2

（n+1），
∵图2中第一个图有1个点，1=1²，
第二个图有4个点，4=2²，
第三个图有9个点，9=3³，
…，
∴第n个图的点数是b_n=n²，
∴是三角形但不是正方形数15，是正方形数但不是三角形25，
图1中第49个图中的点数是

49

2

×（49+1）=1225，
图2中第35个图中的点数是35²=1225，
∴是三角形数又是正方形数是1225．

点评：此题考查了图形的变化类，解题时让学生通过观察、分析和归纳得出其中的规律是解题的关键．