Question

18．如图，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，⊙O是△ABD的外接圆，连接OD并延长，交过点A的切线于点C，BD的延长线交AC于点E．
（1）求证：∠CDE=∠CAD；
（2）若AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明∠CDE=∠CAD，只要证明∠CAD=∠ABD，∠CDE=∠ABD即可．
（2）先利用勾股定理求出CO、CD，再证明△CDE∽△CAD，得$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{AD}$由此即可计算．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵AC是⊙O切线，
∴CA⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠EAD+∠BAD=90°，∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠CAD=∠ABD，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=∠CDE，
∴∠CDE=∠CAD．
（2）解：在RT△CAO中，∵∠CAO=90°，AO=1，AC=2$\sqrt{2}$，
∴CO=$\sqrt{A{C}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{1+8}$=3，CD=OC-OD=2，
∵∠C=∠C，∠CDE=∠CAD，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{AD}$
∴CD²=CE•CA，
∴4=2$\sqrt{2}$CE，
∴CE=$\sqrt{2}$，
∴AE=AC-CE=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关知识，属于中考常考题型．