Question

【题目】如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=，下列结论：① △APD≌△AEB；② EB⊥ED；③ 点B到直线AE的距离为； ④，其中正确结论的序号是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD,再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②利用①中的全等,可得∠APD=∠AEB,结合三角形的外角的性质,易得∠BEP=90°,即可证；③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F,利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE,结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF；④连接BD,求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可.

解:①∵∠EAB+∠BAP=90°，

∠PAD十∠BAP=90°,

∴∠EAB=∠PAD,

又∵AE=AP,AB=AD,

∵在△APD和△AEB中，

△APD≌△AEB(SAS)；

故此选项成立;

②∵△APD=△AEB，

∴∠APD=∠AEB,

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,

∠APD=∠AEP+∠PAE,

∴∠BEP=∠PAE= 90°，

∴EB⊥ED;

故此选项成立;

③过B作BF⊥AE ,交AE的延长线于F,

∵AE=AP,∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°,

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

又∵BE=,

∴BF=EF=,

∴点B到直线AE的距离为,

故此选项不正确,

④如图，连接BD，

在Rt△AEP中,

∵AE=AP=1,

∴EP=,

又∵PB=,

∴BE=,

∵△APD≌△AEB,

∴PD=BE=,

∴S△ABP＋S△ADP＝S△ABD－S△BDP=S正方形ABCD－×DP×BE＝×（4＋）－××＝＋,

故此选项不正确,

∴正确的有①②④,

∴B选项正确.