Question

【题目】如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点于，且.

（1）求证：；

（2）若，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD= 2．

【解析】

（1）连接OA，利用三角形中位线的性质，直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，即可证明

（2）由（1）可得AO=OD=2OE，再根据直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，可得出CD的值.

（1）证明：连接OA，

∵过点A的切线交BD延长线于点C，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°

∵OA＝OB，

∴∠AOC＝2∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠C+∠AOC=90°

∴∠B+2∠B=90°，

∴∠B =30°·

∵OE⊥AB，

∴∠OEB＝90°，

∴OB＝2OE，即2OE=r

（2）解：∵OE=1

∴AO=OD=2OE=2

∵∠C=∠B=30°，∠OAC=90°

∴OC=2AO=4

∴CD=OC-OD=2．