Question

【题目】如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是_____，此时折痕EF的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，连接AC，BD．由题意OD＝OC＝OD′＝，推出点D′的运动轨迹是弧CD，当OD′⊥CD时，D′G的值最大，设DE＝ED′＝x，在Rt△EGD′中，根据EG2+D′G2＝ED′2，构建方程求出x即可解决问题．

如图，连接AC，BD．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，∠DAB＝90°，AD＝BC＝8，

∴BD＝＝17，

∵OD＝OC＝OD′＝，

∴点D′的运动轨迹是弧CD，

当OD′⊥CD时，D′G的值最大，

∵OG∥BC，OD＝OB，

∴DG＝GC，

∴OG＝BC＝4，

∴D′G的最大值＝OD′﹣OG＝﹣4＝，

设DE＝ED′＝x，

在Rt△EGD′中，∵EG2+D′G2＝ED′2，

∴（﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝，

∴EG＝DG﹣DE＝

∴OE＝＝，

∴EF＝2OE＝．

故答案为：，