Question

依次连接等边△A₁B₁C₁三边的中点，得到△A₂B₂C₂，再依次连接△A₂B₂C₂三边的中点得到△A₃B₃C₃，按照此方法继续下去．已知等边△A₁B₁C₁的边长为1，则△A_nB_nC_n的面积为

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,三角形中位线定理

专题：规律型

分析：根据三角形中位线性质得到△A₂B₂C₂，的边长为

1

2

，△A₃B₃C₃的边长为（

1

2

）²，由此得到△A_nB_nC_n的边长为（

1

2

）^n-1，然后根据等边三角形的面积等于边长的

3

4

倍计算即可．

解答：解：∵连接等边△A₁B₁C₁三边的中点，得到△A₂B₂C₂，等边△A₁B₁C₁的边长为1，
∴△A₂B₂C₂，的边长为

1

2

，
同样得△A₃B₃C₃的边长为（

1

2

）²，
∴△A_nB_nC_n的边长为（

1

2

）^n-1，
∴△A_nB_nC_n的面积=

3

4

[（

1

2

）^n-1]²，
=

3

4n

．
故答案为

3

4n

．

点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形的面积等于边长的

3

4

倍．也考查了三角形中位线性质．