Question

如果两个等腰三角形的顶角相等，周长相等，求证：这两个三角形全等．

Answer 1

考点：全等三角形的判定,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：延长BC到N，使AC=CN，延长CB到M，使BM=AB，连接AN、AM，延长EF到W，使DF=FW，延长FE到Q，使EQ=DE，连接DQ、DW，求出MN=QW，∠M=∠Q=∠N=∠W，∠MAB=∠QDE，根据ASA推出△AMN≌△DQW，求出DQ=AM，再根据ASA推出△ABM≌△DEQ，求出AB=DE，AC=DF，根据全等三角形的判定推出即可．

解答：已知：△ABC和△DEF是等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D，AB+AC+BC=DE+DF+EF，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：如图，延长BC到N，使AC=CN，延长CB到M，使BM=AB，连接AN、AM，延长EF到W，使DF=FW，延长FE到Q，使EQ=DE，连接DQ、DW，
∵AB+AC+BC=DE+DF+EF，
∴MN=QW，
∵AB=AC，DE=DF，∠A=∠D，
∴∠ABC=∠ACB=∠DEF=∠DFW
∵AB=BM，
∴∠M=∠MAB，
∵∠M+∠MAB=∠ABC，
∴∠M=∠MAB=

1

2

∠ABC，
同理：∠N=∠NAC=

1

2

∠ACB，∠Q=∠QDE=

1

2

∠DEF，∠W=∠WDF=

1

2

∠DFE，
∴∠M=∠Q=∠N=∠W，∠MAB=∠QDE，
在△AMN和△DQW中，

∠M=∠∠Q MN=QW ∠N=∠W

，
∴△AMN≌△DQW（ASA），
∴DQ=AM，
在△ABM和△DEQ中，

∠M=∠Q AM=DQ ∠MAB=∠QDE

，
∴△ABM≌△DEQ（ASA），
∴AB=DE，
∵AB=AC，DE=DF，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

AB=DE ∠BAC=∠EDF AC=DF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，题目比较好，有一定的难度．