Question

【题目】在平面直角坐标系上，已知点 A（8，4），AB⊥y轴于 B，AC⊥x轴于 C，直线 y＝x交 AB于 D．

（1）如图 1，若 E 为 OD 延长线上一动点，当△BCE 的面积,S△BCE＝20 时，过点 E 作 EF⊥AB于 F，点 G、H 分别为 AC、CB 上动点，求 FG+GH 的最小值及点 G 的坐标．

（2）如图 2，直线 BC 与 DE 交于点 M，作直线 MN∥y 轴，在（1）的条件下，将△DEF 沿 DE方向平移 个单位得到△D′E′F′，在直线 MN 上是否存在点 P 使得△BF′P 为等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的最小值为，G（8,0）；

（2）存在，满足条件的P点有五个，坐标为：或或，理由见解析.

【解析】

（1）先分别求得A、B、C三点坐标，根据直线y=x交AB于D，可求D点坐标，设，根据S△BCE＝20可求得E点坐标，由此可求得F点坐标，作点F关于直线AC的对称点F'，作F'H⊥BC于H，可得F'H即为FG+GH 的最小值，证明，借助相似的性质可求F'H的长度，借助勾股定理求得，由此得出G点与C点重合，即可得出G点坐标；

（2）求出平移后F'坐标，证明△BMD∽△CMO，由此可求得M点坐标，即可得出P点横坐标，设，利用距离公式分别表示,利用它们两两相等分三种情况讨论即可.

（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，

∴∠ABO=∠ACO=∠COB=90°，

∴四边形ABOC是矩形，

∵A(8,4)，

∴AB=OC=8，AC=OB=4，

∴B(0,4)，C(8,0)，

∵直线y=x交AB于D，

∴∠BOD=45°，

∴OB=DB=4，

∴D(4,4)．

设

当S=20时，20=6a16，
解得a=6，

∴E(6,6)，

∵EF⊥AB于F，

∴F(6,4)，

如下图，作点F关于直线AC的对称点F'，作F'H⊥BC于H，交AC于G.此时FG+GH的值最小．

在中，根据勾股定理

因此H、C、G三点重合，G（8,0）

的最小值为，G（8,0）；

（2）如下图：作于K,由题意得

∵四边形ABOC为矩形

∴AB//OC

∴∠EDA=∠EOA=45°

∴为等腰直角三角形，

又

∴

∴△DEF向右平移一个单位，向上平移一个单位得到△D′E′F′

∵F(6,4)

∴F′（7,5）

∵AB//OC

∴△BMD∽△CMO

∴

又∵HM+MN=OB=4

∴MN=，即

设P点坐标为，

,

，

，

①若,则即

解得，

②若则即

解得

③若则即

解得

综上满足条件的P点有五个，坐标为：或或.