Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延

长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；
（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求

BHC

的长．

Answer 1

（1）证明：连接OH，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAH=∠FAH．
∴

CH

=

BH

．
又∵OH是⊙O的半径，
∴OH⊥BC．
又∵EF∥BC，
∴EF⊥OH．
∴EF是⊙O的切线．

（2）∵∠HCB=∠HAB，
∵∠HAB=∠HAC．
∴∠HCB=∠HAC．
又∵∠CHA是公共角，
∴△CDH∽△ACH．
∴

CH

AH

=

HD

CH

．
∴CH²=8×2．
∴CH=4．

（3）连接OB，OC，
∵∠EAF=60°，
∴∠COB=120°，∠COH=60°．
∵OC=OH，∠COH=60°，
∴△COH是等边三角形．
∴OC=OH=CH=4．
∴弧BHC的长=120°×π×4÷180°=

8π

3

．