Question

已知：如图，BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB=AC=10，sin∠ABC=

4

5

．
求：（1）弦BC的长；（2）∠OBC的正切的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆心角定理，得出

AB

=

AC

，利用三角函数关系求出AD的长，进而求出BC的长；
（2）设⊙O的半径OB=r，由OA=OB=r，得OD=8-r，利用勾股定理得出r的长，从而求出∠OBC的正切的值．

解答：解：（1）连接AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．
在⊙O中，∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

．
又∵AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，BC=2BD．
在Rt△ABD中，AB=10，sin∠ABC=

4

5

，
∴AD=ABsin∠ABC=10×

4

5

=8．
于是，由勾股定理得：
BD=

AB2-AD2

=

102-82

=6．
∴BC=12．

（2）设⊙O的半径OB=r．
在⊙O中，由OA=OB=r，得OD=8-r．
在Rt△OBD中，利用勾股定理，得BD²+OD²=OB²，
即得36+（8-r）²=r²．
解得r=

25

4

．
∴OB=

25

4

．
∴OD=8-

25

4

=

7

4

．
∴tan∠OBC=

OD

BD

=

7 4

6

=

7

24

．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及三角函数的应用，综合性较强，也是中考中热点问题，做题过程中应特别注意．