Question

已知：如图，BC是圆O的弦，线段AD经过圆心O，点A在圆上，AD⊥BC，垂足为点D，AB=4

5

，tan∠A=

1

2

．
（1）弦BC的长；
（2）圆O半径的长．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理及所给的正切值可得BD的长，乘以2即为弦BC的长；
（2）连接OB，构造出以OC为斜边的直角三角形，利用勾股定理即可求得半径长．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，tanA=

1

2

，
∴BD=

1

2

AD，（2分）
∵AB=4

5

，BD²+AD²=AB²，
∴BD=4，AD=8，（4分）
又∵经过圆心O的直线AD⊥BC，
∴BC=2BD=8；（6分）

（2）连接OB．设圆O的半径为r，那么DO=8-r，（7分）
在△BOD中，（8-r）²+4²=r²，（8分）
∴r=5，
即圆O的半径为5（10分）．

点评：本题综合考查了垂径定理，勾股定理及解直角三角形的知识；利用题中的直角三角形求解是解决本题的关键．