题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．
【答案】（1）
；（2）存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）Q的坐标
或
.
【解析】
（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可；
（2）四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
（3）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BCA，②当△BQP∽△BCA．
解：（1）由已知得
，
解得 
所以，抛物线的解析式为；
（2）∵A、B关于对称轴对称，如下图，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，
∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；
（3）如上图，设对称轴与x轴交于点D．
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，
直线BC：
，
由二次函数可得，对称轴直线
，
∴
，
①当△BPQ∽△BCA，
，
，
，
，
②当△BQP∽△BCA，
，
，
，
，
，
综上，求得点Q的坐标或
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