Question

【题目】如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点,且.

（1）求证：为的切线；

（2）若， ,求的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】

（1）作OE⊥AB于点E，证明△OBC≌△OBE，根据全等三角形的对应边相等可得OE=OC， OE是⊙O的半径 ，OE⊥AB ，即可判定AB为⊙O的切线；

（2）根据题意先求出AO、BO的长，再证明△AOD∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.

（1）作OE⊥AB于点E，

∵切BC于点C，

∴OC⊥BC，∠ACB=90°，

∵ AD⊥BD，∴∠D=90°，

∴∠ABD＋∠BAD =90°，∠CBD＋∠BOC=90°，

∵∠BOC=∠AOD，∠AOD=∠BAD，

∴∠BOC=∠BAD，

∴∠ABD=∠CBD

在△OBC和△OBE中，

∴△OBC≌△OBE，

∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径 ，

∵OE⊥AB ，∴AB为⊙O的切线；

（2） ∵tan∠ABC=，BC=6，

∴AC=8，∴AB= ，

∵BE=BC=6，∴AE=4，

∵∠AOE=∠ABC，∴tan∠AOE= ，∴EO=3，

∴AO=5，OC=3，∴BO=，

在△AOD和△BOC中，

∴△AOD∽△BOC，∴ ，

即 ，∴AD= .