Question

【题目】如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．

（1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；

（2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）若抛物y=a1（x-m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x-h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，4）；（2）2≤x≤4；（3）a1=-a2，理由如下：见解析

【解析】

（1）设x＝0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y＝2x28x＋4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；

（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得：（a1＋a2）（mh）2＝0，可得a1＝a2.

解：（1）∵抛物线L3：y=2x2-8x+4，

∴y=2（x-2）2-4，

∴顶点为（2，4），对称轴为x=2，

设x=0，则y=4，

∴C（0，4），

∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；

（2）∵以点D（4，4）为顶点的抛物线L4过点（2，-4），

设L4的解析式，

将点（2，-4）代入L4可得，a=-2，

∴L4的解析式为y=-2（x-4）2+4，

L3与L4的两个交点分别为（4，4）和（2，-4）

∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是：2≤x≤4时；

（3）a1=-a2，

理由如下：

∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，

∴可以列出两个方程，

①+②得：（a1+a2）（m-h）2=0，

∴a1=-a2．