Question

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。

Answer 1

解：（2） 图2中结论PR+PQ=仍成立，
连接BP，过C点作CK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴BD===5，
∵S_△BCD=BC·CD=BD·CK，
∴3×4=5CK，
∴CK=，
∵S_△BCE=BE·CK，
S_△BEP=PR·BE，
S_△BCP=PQ·BC且S_△BCE=S_△BEP+ S_△BCP，
∴BE·CK=PR·BE+PQ·BC，
又∵BE=BC，
∴CK=PR+PQ，
∴CK=PR+PQ，
又∵CK=，
∴PR+PQ=；
（除此方法外，只要证明方法准确、合理均可得分）
（3） 图3中的结论是PR-PQ=。