Question

【题目】已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0)．

(1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是 ；

(2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解集是 ；

(3)若抛物线的顶点在直线y＝2x上，求此抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】(1)－1，3；(2)－1＜x＜3；(3) 二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋.

【解析】

（1）根据抛物线解析式，求出对称轴，根据点A、B关于对称轴对称，求出点B的坐标即可；

（2）根据抛物线的开口方向，与x轴的交点，即可判定不等式的解集；

（3）根据抛物线经过点A，将其代入，用含a的式子表示出c，求出抛物线的顶点坐标，将其代入直线解析式，即可求出a的值，进而求出c的值即可．

（1）根据题意可知，抛物线的对称轴是：直线x=．

∵点A（﹣1，0），∴点B的坐标为（3，0），∴一元二次方程的解为：﹣1，3；

故答案为：﹣1，3；

（2）∵二次函数与y轴正半轴交于点C，∴抛物线的开口向下，∴当ax2﹣2ax+c＞0时，不等式的解集为：﹣1＜x＜3；

故答案为：﹣1＜x＜3；

（3）∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a+2a+c=0，即：c=﹣3a，∴﹣=﹣3a﹣a=﹣4a．

∵抛物线的顶点坐标（1，﹣4a）在直线y=2x上，∴﹣4a=2×1，解得：a=﹣，∴c=﹣3a=3×=，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+．