题目内容

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2 $数学公式$ ，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
（1）当点B在第一象限，纵坐标是 $数学公式$ 时，求点B的横坐标；
（2）如果抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①当a= $数学公式$ ，b=- $数学公式$ ，c=- $数学公式$ 时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点O是AB的中点，
∴OB= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ；
设点B的横坐标是x（x＞0），
则x²+（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=- $\text{[math]}$ （舍去）；
∵点B在第一象限，
∴点B的横坐标是 $\text{[math]}$ ；

（2）①当a= $\text{[math]}$ ，b=- $\text{[math]}$ ，c=- $\text{[math]}$ 时，得y= $\text{[math]}$ （*）
y= $\text{[math]}$ ；
以下分两种情况讨论；
情况1：设点C在第一象限（如图），
则点C的横坐标为 $\text{[math]}$ ，OC=OB×tan30°= $\text{[math]}$ =1；
由此，可求得点C的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
根据∠A=30°，OC⊥AB，
过C作X轴的垂线交X轴于N，过点A作垂线交X轴于点M，
则△AOM∽△CON
∴OA：OC=OM：CN=AM：ON= $\text{[math]}$ ：1

，
∵NO= $\text{[math]}$ ，
∴AM=NO× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴MO=CN× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点A（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵A，B两点关于原点对称，

∴点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
将点A的横坐标代入解析式的右边，计算得 $\text{[math]}$ ，
即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入解析式的右边，计算得- $\text{[math]}$ ，即等于点B的纵坐标；
∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上；
情况2：设点C在第四象限（如图），则点C的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-

$\text{[math]}$ ），
点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），点B的坐标为（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上；
②存在，m的值是1或-1．
y=a（x-m）²-am²+c，
因为这条抛物线的对称轴经过点C，
所以-1≤m≤1；
当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．
因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上．
分析：（1）由于O是AB的中点，则OA=OB= $\text{[math]}$ ；可设出点B的横坐标，结合B点的纵坐标和勾股定理即可求出B点的横坐标；
（2）①已知了抛物线的解析式，即可得到抛物线的对称轴方程，也就得到了C点的横坐标；此时发现C点横坐标为正数，所以分两种情况讨论：
一、点C在第一象限；在Rt△OBC中，根据OB的长及∠B的度数，可求出OC的长，参照（1）的方法即可求出C点的坐标；若分别过A、C作x轴的垂线，通过构建的相似三角形即可求出A点的坐标，A、B关于原点对称，即可得到B点的坐标；将A、B的坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
二、点D在第四象限；方法同一；
②若b=-2am，则函数的解析式为：y=ax²-2amx+c=a（x-m）²-am²+c；由此可得C点的横坐标为m；在△ABC旋转的过程中，C点横坐标的取值范围在区间[-1，1]之间，由于当m=-1或1时，C点在x轴上，A、B同时处在y轴，所以此时抛物线不可能同时经过A、B两点．
点评：此题是二次函数的综合题型，主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、图形的旋转变换等知识．