Question

已知：直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：菱形ABCD的边长是______、面积是______、高BE的长是______；
（2）若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式；
（3）若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，求出当t=4秒时，△APQ为等腰三角形时k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OC=4，OD=3，在Rt△COD中，由勾股定理求出CD=5，求出AC=2OC=8，BD=2OD=6，即可求出菱形ABCD的面积（×AC×BC），根据S=×AC×BE，求出BE即可；
（2）求出AP=t，AQ=10-2t，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，根据△AQG∽△ABE求出QG=-t，代入S=AP•QG求出即可；
（3）当t=4秒时，求出AP=4，以下分两种情况讨论：第一种情况：当点Q在CB上时，只有Q₁A=Q₁P，过点Q₁作Q₁M⊥AP，垂足为点M，Q₁M交AC于点F，根据△AMF∽△AOD∽△CQ₁F求出FM=，Q₁F=，CQ₁=QF=，由CQ₁=4k，求出即可；第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q₂，Q₃，分别使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，根据CB+BQ₂=10-4=6得出4k=6，求出即可；
②若PA=PQ₃，过点P作PN⊥AB，垂足为N，由△ANP∽△AEB，得=，求出AN=，AQ₃=2AN=，求出BC+BQ₃=，由，求出即可．
解答：解：（1）∵C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OC=4，OD=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=5，
即菱形ABCD的边长是5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=5，AC⊥BD，AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形ABCD的面积是×AC×BC=×6×8=24，
∴24=×AC×BE，
∴BE=；

（2）由题意，得AP=t，AQ=10-2t，
如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得：
△AQG∽△ABE，
∴=，
∴QG=-t，
∴S=AP•QG=•t•（-t），
S=-t²+t；

（3）当t=4秒时，
∵点P的速度为每秒1个单位，
∴AP=4，
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在点Q₁，使Q₁A=Q₁P，
如图2，过点Q₁作Q₁M⊥AP，垂足为点M，Q₁M交AC于点F，
则AM=AP=2，
∵△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，
∴===，
∴FM=，
∴Q₁F=MQ₁-FM=，
∴CQ₁=QF=，
由CQ₁=4k，
∴k=；
第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q₂，Q₃，分别使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，如图3，
CB+BQ₂=10-4=6．由4k=6，得；
②若PA=PQ₃，如图4，
过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB，得=，
∵AE==，
∴AN=，
∴AQ₃=2AN=，
∴BC+BQ₃=10-=，由，
得．
综上所述，当t=4秒，使得△APQ为等腰三角形的k的值为或或．
故答案为：5，24，．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，菱形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大，用了分类讨论思想．