题目内容

如图，已知平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，-3）．两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿折线CDA向终点A运动，设运动时间为x秒．
（1）求菱形ABCD的高h和面积s的值；
（2）当Q在CD边上运动，x为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分；
（3）设四边形APCQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（要写出x的取值范围）；在P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，并指出此时P、Q的位置；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图1，过B点作BH⊥CD，垂足为H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
在Rt△COD中，CD= $\text{[math]}$ =5，
∴S_菱形ABCD=4S_△COD=4× $\text{[math]}$ ×4×3=24，
又∵S_菱形ABCD=CD×BH，即5h=24，解得h= $\text{[math]}$ ；

（2）依题意，得AP=x，DQ=5-2x，则S_梯形APQD= $\text{[math]}$ （x+5-2x）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （5-x），
当S_梯形APQD= $\text{[math]}$ S_菱形ABCD时， $\text{[math]}$ （5-x）=8，解得x= $\text{[math]}$ ，
当S_梯形APQD= $\text{[math]}$ S_菱形ABCD时， $\text{[math]}$ （5-x）=16，解得x=- $\text{[math]}$ （舍去）；

（3）存在．
当点Q在CD上时，如图2，依题意，得AP=x，CQ=2x，
∴y= $\text{[math]}$ （x+2x）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x（0≤x≤ $\text{[math]}$ ），
当x= $\text{[math]}$ 时，y有最大值，最大值为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =18，⊙

此时P点在线段AB的中点，Q点与D点重合；
当点Q在AD上时，如图3，
y= $\text{[math]}$ （x+10-2x）× $\text{[math]}$ =24- $\text{[math]}$ x（ $\text{[math]}$ ＜x＜5），
y无最大值．
分析：（1）如图1，过B点作BH⊥CD，垂足为H，由菱形的性质可知OB=OD=3，OA=OC=4，在Rt△COD中，由勾股定理求CD，根据S_菱形ABCD=4S_△COD求菱形面积，再根据S_菱形ABCD=CD×BH求h；
（2）根据P、Q两点运动速度表示AP，DQ，由S_梯形APQD= $\text{[math]}$ S_菱形ABCD，或S_梯形APQD= $\text{[math]}$ S_菱形ABCD，两种情况分别求x的值；
（3）根据P、Q两点运动速度表示AP，CQ，根据梯形面积公式表示y，再根据函数的性质求y的最大值及此时x的值．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据题意求菱形的边长，高，面积，根据梯形的面积公式列方程求解．