Question

5．抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（-1，-3），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a-c=3；④方程以ax²+bx+c+3=0有两个的实根，其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 抛物线开口向上a＞0，对称轴在y轴左侧，b＞0，抛物线和y轴负半轴相交，c＜0，则abc＜0，由抛物线与x轴有两个交点得到b²-4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，所以当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；由抛物线的顶点为D（-1，-3）得a-b+c=-3，由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1得b=2a，所以a-c=3；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为-3，即b²-4ac=-12a，b²-4a（c+3）=b²-4ac-12a=-24a，所以说方程ax²+bx+c+3=0无实数根．

解答 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线和y轴负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵当x=1时，y＞0，
∴y=a+b+c＞0，故②错误；
∵抛物线的顶点为D（-1，-3）
∴a-b+c=-3，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1得b=2a，
把b=2a代入a-b+c=-3，得a-2a+c=-3，
∴c-a=-3，
∴a-c=3，故③正确；
∵二次函数y=ax²+bx+c有最大值为-3，
∴b²-4ac=-12a，
∴方程ax²+bx+c+3=0的判别式△=b²-4a（c+3）=b²-4ac-12a=-24a＜0，
∴方程ax²+bx+c+3=0无实数根，故④错误；
故选A．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．