题目内容

如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，∠B=90°，BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm．动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；当其中一个到达端点时，两点同时停止运动．若两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），△CPQ的面积为y（cm2）．
（1）求点P到AB的距离；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；
（3）求y与t之间的函数关系式．
分析：（1）作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，利用APF∽△ADE，得到比例式
AP
AD
=
PF
DE
即可代入求得点P到线段AB的距离；
（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，AP=PQ，然后得到有关t的方程求解即可；
（3）根据y=S梯形PFBC-S△PFQ-S△BCQ，得到有关y与x的函数关系式即可．
解答：解：（1）作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，
∵ABCD，AB∥CD，∠B=90°，
∴四边形DEBC为矩形，
∵BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm，
∴DE=BC=6cm．AE=AB-EB=20-12=8cm，
∴AD=10cm，
∵动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；
∴AP=tcm，
∵△APF∽△ADE，
∴
AP
AD
=
PF
DE
，
即：
t
10
=
PF
6

∴PF=
3
5
t
∴点P到AB的距离为
3
5
t；

（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，
AP=PQ，
此时，AF=FQ=
1
2
AQ=
1
2
（AB-BQ）=
1
2
（20-2t）=（10-t）cm，
在Rt△AFP中，AP2=AF2+PF2，
∴（10-t）2+（
3
5
t）2=t2，
解得：t=50（舍去）或t=
50
9

∴当t=
50
9
时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；

（3）在Rt△APF中，
∵AP=t，PF=
3
5
t
∴AF=
4
5
t，
∴y=S梯形PFBC-S△PFQ-S△BCQ
=
1
2
（PF+BC）•FB-
1
2
PF•FQ-
1
2
BC•BQ
=
1
2
[（
3
5
t+6）（20-
4
5
t）-
3
5
t（10-t）-6×2t]
=
9
25
t2-
12
5
t+60．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，重点考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点的综合应用能力．
练习册系列答案
相关题目
9、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，BE⊥CD，∠A=110°，AD=3，AB=5，则BC的长为（　　）
设△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积为S2（S1＜S2），当△A1B1C1∽△A2B2C2，且0.3≤
S1S2
≤0.4时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，连接AC．
（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．精英家教网
如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，点P从点A开始沿AB边向点B以3cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，当其中一精英家教网点到达终点时，另一点也随之停止．过Q作QD∥AB交AC于点D，连接PD，设运动时间为t秒时，四边形BQDP的面积为s．
（1）用t的代数式表示QD的长．
（2）求s关于t的函数解析式，并求出运动几秒梯形BQDP的面积最大？最大面积是多少？
（3）连接QP，在运动过程中，能否使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．
（2007•遂宁）如图，已知等腰△ABC的面积为4cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为
3
3
 cm2．
阅读理解

（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？
相等
相等
（S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．

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