题目内容
如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，∠B=90°，BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm．动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；当其中一个到达端点时，两点同时停止运动．若两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），△CPQ的面积为y（cm2）．（1）求点P到AB的距离；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；
（3）求y与t之间的函数关系式．
分析：（1）作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，利用APF∽△ADE，得到比例式
=
即可代入求得点P到线段AB的距离；
（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，AP=PQ，然后得到有关t的方程求解即可；
（3）根据y=S梯形PFBC-S△PFQ-S△BCQ，得到有关y与x的函数关系式即可．
| AP |
| AD |
| PF |
| DE |
（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，AP=PQ，然后得到有关t的方程求解即可；
（3）根据y=S梯形PFBC-S△PFQ-S△BCQ，得到有关y与x的函数关系式即可．
解答：
解：（1）作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，
∵ABCD，AB∥CD，∠B=90°，
∴四边形DEBC为矩形，
∵BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm，
∴DE=BC=6cm．AE=AB-EB=20-12=8cm，
∴AD=10cm，
∵动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；
∴AP=tcm，
∵△APF∽△ADE，
∴
=
，
即：
=
∴PF=
t
∴点P到AB的距离为
t；
（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，
AP=PQ，
此时，AF=FQ=
AQ=
（AB-BQ）=
（20-2t）=（10-t）cm，
在Rt△AFP中，AP2=AF2+PF2，
∴（10-t）2+（
t）2=t2，
解得：t=50（舍去）或t=
∴当t=
时，△APQ是以AQ为底的等腰三角形；
（3）在Rt△APF中，
∵AP=t，PF=
t
∴AF=
t，
∴y=S梯形PFBC-S△PFQ-S△BCQ
=
（PF+BC）•FB-
PF•FQ-
BC•BQ
=
[（
t+6）（20-
t）-
t（10-t）-6×2t]
=
t2-
t+60．
解：（1）作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，∵ABCD，AB∥CD，∠B=90°，
∴四边形DEBC为矩形，
∵BC=6cm，CD=12cm，AB=20cm，
∴DE=BC=6cm．AE=AB-EB=20-12=8cm，
∴AD=10cm，
∵动点P从A点出发，沿AD方向匀速向D运动，速度为1cm∕s；动点Q从B出发，沿BA方向匀速向A运动，速度为2cm∕s；
∴AP=tcm，
∵△APF∽△ADE，
∴
| AP |
| AD |
| PF |
| DE |
即：
| t |
| 10 |
| PF |
| 6 |
∴PF=
| 3 |
| 5 |
∴点P到AB的距离为
| 3 |
| 5 |
（2）当△APQ是以AQ为底的等腰三角形时，
AP=PQ，
此时，AF=FQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△AFP中，AP2=AF2+PF2，
∴（10-t）2+（
| 3 |
| 5 |
解得：t=50（舍去）或t=
| 50 |
| 9 |
∴当t=
| 50 |
| 9 |
（3）在Rt△APF中，
∵AP=t，PF=
| 3 |
| 5 |
∴AF=
| 4 |
| 5 |
∴y=S梯形PFBC-S△PFQ-S△BCQ
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
=
| 9 |
| 25 |
| 12 |
| 5 |
点评：本题考查了二次函数的综合知识，重点考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点的综合应用能力．
练习册系列答案
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