Question

10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，$\frac{CF}{FD}$的值为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设BC与D′F交于点K．CF=a，D′K=b，用a、b表示CK，KF，BK，根据BC=CD列出方程即可证明a=b，由此即可解决问题．

解答 解：设BC与D′F交于点K．CF=a，D′K=b，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠C=60°，∠D′=∠D=120°，
∵KF⊥CD，
∴∠KFC=90°，
∴∠FKC=∠BKD′=30°，
∴∠KBD′=180°-∠D′-∠BKD′=30°，
∴BD′=b，BK=$\sqrt{3}$b，KC=2a，KF=$\sqrt{3}$a，
∵BC=CD=D′F+CF，
∴$\sqrt{3}$b+2a=b+$\sqrt{3}$a+a，
∴（$\sqrt{3}$-1）a=（$\sqrt{3}$-1）b，
∴a=b，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a+a}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查菱形的性质、翻折变换、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是设参数，列出方程找到a、b的关系，属于中考常考题型．