Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，S_{四边形OBDC}=2S_△BPD；

（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵y=x﹣1，∴x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．

当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．

∵y=x²+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴，∴，

∴抛物线的解析式为：y=x²+4x﹣1；

（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m²+4m﹣1），D（m，m﹣1）

如图1①，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m²，

∴PD=1﹣4m﹣m²﹣1+m=﹣3m﹣m²，

∴，

解得：m₁=0（舍去），m₂=﹣2，m₃=﹣；

如图1②，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

PD=1﹣4m﹣m²+1﹣m=2﹣4m﹣m²，

∴，

解得：m=0（舍去）或m=﹣3，

∴m=﹣，﹣2或﹣3时S_{四边形OBDC}=2S_△BPD；

 

（3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a²+4a﹣1），则D（a，a﹣1），

∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m²，

∴DP=1﹣4m﹣m²﹣1+m=﹣3m﹣m²．

在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴（1，0），∴OF=1，

∴CF=1﹣m．AF=4．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，

∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，，

∴，

解得：m=1舍去或m=﹣2，

∴P（﹣2，﹣5）

如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，

∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m²）=3m+m²．

∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴，

∴AD=（﹣3﹣m）．∵△PAD∽△FEA，∴，∴，

∴m=﹣2或m=﹣3

∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A重合，舍去，

∴P（﹣2，﹣5）．