Question

12．如图．已知∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，BD=DF交CA的延长线于F点，求证：BE=AE+AF．

Answer 1

分析 由DE⊥AB得到∠AED=90°，由AD平分∠BAC得到∠CAD=∠EAD，则可根据“AAS”证明△ACD≌△AED，于是根据全等三角形的性质得AC=AE，CD=ED，然后根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到BF=FC，利用等线段代换易得BE=AE+AF．

解答 证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AED}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=ED，
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=FD}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC，
∴BE=FC，
∵FC=FA+AC=FA+AE，
∴BE=AE+AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．