Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BC=AC，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是多少？（结果保留π）．

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的

2

2

倍求出AC，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△AB′C′和△ABC全等，然后推出阴影部分的面积等于扇形ABB′的面积减去扇形ACC′的面积，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=2，
∴∠BAC=45°，AC=

2

2

AB=

2

2

×2=

2

，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，
∴△AB′C′≌△ABC，
∴S_阴影=S_扇形ABB′+S_△AB′C′-S_△ABC-S_扇形ACC′=S_扇形ABB′-S_扇形ACC′，
∴阴影部分的面积=

45•π•22

360

-

45•π• 2 2

360

=

1

4

π．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，扇形的面积计算，根据旋转的性质得到两三角形全等，然后推出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．