Question

4．如图，直线y=-x向上平移m个单位长度得到直线l，已知直线l与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A，B两点，与x轴，y轴交于点C，点D，其中点A坐标为（1，6）
（1）m=7，k=6，点B坐标为（6，1）；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）请在y轴上确定一点P，使PA+PB的值最小．

Answer 1

分析 （1）直线AB的解析式是y=-x+m，把（1，6）代入即可求得m的值，利用待定系数法即可求得k的值，根据对称性即可求得B的坐标；
（2）根据S_△OAB=S_△OCD-S_△ODA-S_△OCB即可求解；
（3）求得A关于y轴的对称点，求出经过这点和B的直线的解析式，然后求得直线和y轴的交点即可．

解答 解：（1）直线AB的解析式是y=-x+m，把（1，6）代入得-1+m=6，
解得：m=7．
把（1，6）代入y=$\frac{k}{x}$得k=6．
∵y=$\frac{6}{x}$和直线y=-x+7都关于一、三象限的角平分线对称，
∴B的坐标是（6，1）．
故答案是：7，6，（6，1）；
（2）在y=-x+7中，令x=0，解得y=7，
令y=0，解得x=7，则C的坐标是（7，0），D的坐标是（0，7）．
则S_△OAB=S_△OCD-S_△ODA-S_△OCB=$\frac{1}{2}$×7×7-$\frac{1}{2}$×1×7-$\frac{1}{2}$×1×7=$\frac{35}{2}$；
（3）A关于y轴的对称点是（-1，6），设经过这点和B的直线的解析式是y=mx+n，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=6}\\{6m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{7}}\\{n=\frac{37}{7}}\end{array}\right.$．
则直线的解析式是y=-$\frac{5}{7}$x+$\frac{37}{7}$，令x=0，解得y=$\frac{37}{7}$，
则P的坐标是（0，$\frac{37}{7}$）．

点评 本题考查了待定系数求函数的解析式以及反比例函数的轴对称性，正确求得B的坐标是关键．