Question

抛物线y＝x²＋x＋m的顶点在直线y＝x＋3上，过点F(－2，2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边)，MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示)，再求m的值；

(2)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

(3)若射线NM交x轴于点P，且PA·PB＝，求点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

分析．(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可； 　　(2)首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2＝NC2＋FC2，进而得出NF2＝NB2，即可得出答案； 　　(3)求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由(2)的思路得出MF＝MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA·PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解． 　　解答．解：(1)y＝x2＋x＋m＝(x＋2)2＋(m－1) 　　∴顶点坐标为(－2，m－1) 　　∵顶点在直线y＝x＋3上， 　　∴－2＋3＝m－1， 　　得m＝2； 　　(2)∵点N在抛物线上， 　　∴点N的纵坐标为：a2＋a＋2， 　　即点N(a，a2＋a＋2) 　　过点F作FC⊥NB于点C， 　　在Rt△FCN中，FC＝a＋2，NC＝NB－CB＝a2＋a， 　　∴NF2＝NC2＋FC2＝(a2＋a)2＋(a＋2)2， 　　＝(a2＋a)2＋(a2＋4a)＋4， 　　而NB2＝(a2＋a＋2)2， 　　＝(a2＋a)2＋(a2＋4a)＋4 　　∴NF2＝NB2， 　　NF＝NB； 　　(3)连接AF、BF， 　　由NF＝NB，得∠NFB＝∠NBF，由(2)的结论知，MF＝MA， 　　∴∠MAF＝∠MFA， 　　∵MA⊥x轴，NB⊥x轴， 　　∴MA∥NB，∴∠AMF＋∠BNF＝180° 　　∵△MAF和△NFB的内角总和为360°， 　　∴2∠MAF＋2∠NBF＝180°，∠MAF＋∠NBF＝90°， 　　∵∠MAB＋∠NBA＝180°， 　　∴∠FBA＋∠FAB＝90°， 　　又∵∠FAB＋∠MAF＝90°， 　　∴∠FBA＝∠MAF＝∠MFA， 　　又∵∠FPA＝∠BPF， 　　∴△PFA∽△PBF， 　　∴＝，PF2＝PA×PB＝， 　　过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中， 　　PG＝＝， 　　∴PO＝PG＋GO＝， 　　∴P(－，0) 　　设直线PF：y＝kx＋b，把点F(－2，2)、点P(－，0)代入y＝kx＋b， 　　解得k＝，b＝， 　　∴直线PF：y＝x＋， 　　解方程x2＋x＋2＝x＋， 　　得x＝－3或x＝2(不合题意，舍去)， 　　当x＝－3时，y＝， 　　∴M(－3，)． 　　点评．考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，(3)题通过构建相似三角形将PA·PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．

提示：

考点．二次函数综合题．