Question

20．如图，已知点A，B在⊙O上，AO是⊙O的半径，D为AO的中点，过点D作CD⊥AO于点D，连接AB交CD于点E，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE=10，sinA=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=$\frac{1}{2}$BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径．

解答 （1）证明：如图1，连接OB．
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC．
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：如图2，连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠AOF=30°

（3）解：如图3，过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=$\frac{1}{2}$BE=5
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=$\frac{5}{13}$，
∴CE=$\frac{EG}{sin∠ECG}$=13
∴CG=$\sqrt{C{E}^{2}-E{G}^{2}}$=12，
又∵CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得$\frac{AD}{CG}$=$\frac{DE}{GE}$
∴AD=$\frac{DE}{GE}$•CG=$\frac{24}{5}$
∴⊙O的半径为=2AD=$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，难度也不小．