Question

证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.如图19-3-22，梯形ABCD中，对角线AC=BD.

求证：梯形ABCD是等腰梯形.

图19-3-22

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形.在△ABC和△DCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证△ABC≌△DCB得到AB=DC. 证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E， 又 AD∥BC，∴ 四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC. ∵ AC=BD， ∴ DE=BD，∴∠1=∠E.∵∠2=∠E， ∴∠1=∠2. 又AC=DB，BC=CE，∴△ABC≌△DCB.∴ AB=CD. ∴梯形ABCD是等腰梯形. 说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路. 问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如右图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证Rt△ABC≌Rt△CAE，得∠1=∠2.