Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线，作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．

（1）求证：AB＝BE；

（2）若⊙O的半径R＝2.5，MB＝3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据切线的性质得出∠MAE＝90°，由等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，进而得证；

（2）根据圆周角定理的推论得出∠ABC＝90°，进而可证明△ABC∽△EAM，利用相似三角形的性质求出AM，由圆周角定理证明∠AMB＝∠D即可．

（1）证明：∵AC为直径，AP是⊙O的切线，

∴∠MAE＝90°，

∴∠MAB＋∠BAE＝90°，∠AMB＋∠AEB＝90°，

∵BM＝BA，

∴∠BAM＝∠BMA，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE；

（2）解：连接BC，∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BAE＝∠BEA，∠MAE＝∠ABC＝90°，

∴△ABC∽△EAM，

∴，∠AMB＝∠C，

即，

解得，，

又∵∠C＝∠D，

∴∠AMB＝∠D

∴．