Question

如图是一个锐角为∠B=30°的直角三角形，∠C是直角．
（1）用直尺和圆规在此三角形中作出一个半圆，使它的圆心在线段BC上，且与AB，AC和相切（保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）求（1）中所作半圆与三角形的面积比（保留一个有效数字）．

Answer 1

解：（1）所作半圆如图所示；

（2）设AC=x，
∵∠B=30°，∠C是直角，
∴AB=2AC=2x，
根据勾股定理，BC===x，
设半圆的半径为r，则OB=x-r，
∵∠B=∠B，∠C=∠BDO=90°，
∴△ABC∽△OBD，
∴=，
即=，
整理得，r=x，
所以，半圆的面积：三角形的面积=πr²：x•x=π（x）²：x²=（π）：9≈0.6．
分析：（1）根据切线长定理，以A为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于D，过点D作AB的垂线与BC相交于点O，然后以O为圆心，以OD长为半径，作出半圆即可；
（2）设AC=x，解直角三角形求出BC，设半圆的半径为r，求出△ABC和△OBD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求x、r的关系，再根据三角形与圆的面积公式列式求解即可．
点评：本题考查了复杂作图，主要利用了切线长定理，过一点作已知直线的垂线，相似三角形的判定与性质，难点较大．