Question

13．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，点B在x轴上，点C（1，a）为OA的中点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，交AB于点D，且∠AOD=∠BOD，则k=（　　）

• A． 8
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由点C的坐标结合△AOB为直角三角形可得出点A、B的坐标，根据角平分线的性质可得出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$，由此可得出点D的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的方程，解之即可得出a、k的值．

解答 解：∵点C（1，a）为OA的中点，
∴点A（2，2a），OA=2$\sqrt{1+{a}^{2}}$．
∵∠ABO=90°，
∴点B（2，0），OB=2，AB=2a．
∵∠AOD=∠BOD，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$，即BD=$\frac{OB•AD}{OA}$=$\frac{2×（2a-BD）}{2\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
∴BD=$\frac{2（\sqrt{1+{a}^{2}}-1）}{a}$，
∴点D（2，$\frac{2（\sqrt{1+{a}^{2}}-1）}{a}$）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C、D，
∴k=1×a=2×$\frac{2（\sqrt{1+{a}^{2}}-1）}{a}$，
整理得：$\sqrt{1+{a}^{2}}$=3，
解得：a=2$\sqrt{2}$或a=-2$\sqrt{2}$（舍去），
∴k=a=2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形以及角平分线，用含a的代数式表示出点D的坐标是解题的关键．