Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，sin∠ABC=．
（1）求⊙O的半径；
（2）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形；
（3）当t为何值时，△BEF的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠ABC=，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，AB=2BC=4cm，
∴OA===2cm，即r=2cm；

（2）①当EF⊥BC时．
因为AB为⊙O直径，
所以∠C=90°，
当EF⊥BC，
则有△EBF∽△ABC，
于是=，
即=，
解得t=1．
②当EF⊥AB时．
则有△EBF∽△BCA，
于是=，
即=，
解得t=．

所以，当t=1s或s时，△BEF为直角三角形．

（3）作△BFE的BE边上的高FG．
则FG=BF•sin∠ABC=t．
S_△EFB=EB•FG=（4-2t）t=-t²+t，
当t=-=1时，S_△EFB取得最大值，为S_最大=-+=．

分析：（1）根据圆周角定理可知∠ACB=90°，再由sin∠ABC=可求出∠B的度数，再根据直角三角形的性质即可求出AB的长进而求出其半径的长；
（2）当△BEF为直角三角形时，与△ABC相似，可根据相似三角形的性质解答；
（3）用含t的代数式表示出△BEF的高，进而用二次函数表示出其面积，利用二次函数的性质解答即可．
点评：此题是一道综合性很强的题目，涉及圆周角定理、三角函数、二次函数的最值等问题，难度较大，要认真对待．