Question

如图所示，已知正方形ABCD，直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合，纸板绕点A旋转时，直角三角形纸板的一边与直线CD交于E，分别过B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G.

（1）当点E在DC延长线上时，如图①，求证：BF = DG一FG；（4分）

（2）将图①中的三角板绕点A逆时针旋转得图②、图③，此时BF、FG、DG之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论（不必证明）. （4分）

Answer 1

 证明（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AD=AB，

∴∠DAG+∠BAG=90°，

∵BF⊥AE，DG⊥AF，

∴∠AFB=∠AGD=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠DAG=∠ABF，

在△ABF和△DAG中，

∵∠ABF=∠DAG，

∠AFB=∠DGA=90°，

AB=AD，

∴△ABF≌△DAG，

∴AF=DG，BF=AG，              ……………………….4

∴BF=AG=AF－FG=DG－FG；

（2）图2中，BF=DG+FG，理由如下：

由（1）可知：△ABF≌△DAG，

∴BF=AG，AF=DG，

∴BF=AG=AF+FG=DG+FG；

图3中，BF=FG－DG．理由如下：

∵ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，ANB=AD，

∴∠FAB+∠DAG=90°，

∵BF⊥EF，DG⊥EF，

∴∠BFA=∠AGD=90°，

∠FBA+∠BAF=90°，

∴∠FBA=∠GAD，

在△FBA和△GAD中，

∵∠FBA=∠GAD，

∠BFA=∠AGD，

AB=AD，

∴△FBA≌△GAD，

∴BF=AG，FA=GD，

∴BF=AG=FG－FA= FG－GD．…………………………8