Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，交BD于F，
（1）求证：2AD²=DF•DB；
（2）若BF、FD（BF＜DF）是关于x的方程x²-3mx+2m²=0的两根，且AB=4，求菱形的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据菱形的性质得出AD∥BC，OB=OD，AC⊥BD，再由AE⊥BC可得出△ADO∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例可得出

AD

DO

=

FD

AD

，再由OD=

1

2

BD即可得出结论；
（2）先用m表示出一元二次方程x²-3mx+2m²=0的两根，故可得出BF及DF的值，再由相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△EBF，故可得出

BE

AD

=

BF

FD

=

1

2

，故可得出E是BC的中点，在Rt△ABE中利用勾股定理可求出AE的长，由菱形的面积公式即可得出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，
∴∠EAD=∠AOD=90°，
∵∠ADO=∠ADO，
∴△ADO∽△FAD，
∴

AD

DO

=

FD

AD

，
∴AD²=DF•DO，
∵OD=

1

2

BD，
∴2AD²=DF•BD；

（2）解：∵x²-3mx+2m²=0，
∴x₁=m，x₂=2m，即BF=m，DF=2m，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC，∠BEA=∠EAD，
∴△ADF∽△EBF，
∴

BE

AD

=

BF

FD

=

1

2

，
∴E是BC的中点，
在Rt△ABE中，
∵AE=

AB2-BE2

=

42-22

=2

3

，
∴S_△ABC=BC•AE=4×2

3

=8

3

．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理等有关知识，涉及面较广．