Question

13．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，CD⊥AC于C，AC交⊙O于E，CE=2，CD=4．
（1）求点D到AB的距离；
（2）求⊙O的半径R及BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，易证得OC∥AD，继而可得AC平分∠DAB，根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）过O作AC的垂线，设垂足为G，得到四边形ODCG是矩形，根据切割线定理得到CD²=CE•CA，求得AC=8，AE=6，GE=$\frac{1}{2}$AE=3，于是得到⊙O的半径=5，连接BE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=8，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

解答 解：（1）连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∵AC⊥CD，
∴OD∥AD，
∴∠DAC=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB，
∴点D到AB的距离=CD=4；

（2）过O作AC的垂线，设垂足为G，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OGC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∵CD是切线，CEA是割线，
∴CD²=CE•CA，
∵CD=2CE=4，
∴AC=8，
∴AE=6，
∴GE=$\frac{1}{2}$AE=3，
∴OD=CG=EG+EC=3+2=5，
∴⊙O的半径=5，
连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=OD=10，AE=6，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=8，
∵CE=2，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

点评 此题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，以及切割线定理，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．