Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以写成两个相邻“三角形数”之和．即：（1）4=1+3，（2）9=3+6，（3）16=6+10，…按这一规律，请你写出第2012个图中的一条等式：

2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．

Answer 1

分析：观察图象中点的个数的规律有第一个图形是4=2²=1+2+1，第二个图形是9=3²=1+2+3+2+1，第三个图形是16=4²=1+2+3+4+3+2+1，则按照此规律得到第n个图形为：（n+1）²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1=[1+2+3+4+…+（n-1）+n]+[（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1]，然后求出即可．

解答：解：∵4=2²=1+2+1，
9=3²=1+2+3+2+1，
16=4²=1+2+3+4+3+2+1，
∴36=6²=1+2+3+4+5+6+5+4+3+3+2+1=15+21；
（n+1）²=1+2+3+4+…+（n-1）+n+（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1
=[1+2+3+4+…+（n-1）+n]+[（n+1）+n+（n-1）+（n-2）+…+1]
=

1

2

n（n+1）+

1

2

（n+1）（n+2），
∴第2012个图中：
∴2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．
故答案为：2013²=

2013×(2013-1)

2

+

2013×(2013+1)

2

．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．