Question

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD=2，CB=2

2

，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接PA，PB，根据圆内接四边形对角互补证明∠PBC是直角，从而可以确定CB是⊙P的切线；
（2）根据△FCE∽△PCB，则

CB

CE

=

BP

EF

，由于CB是⊙P的切线，所以根据CB²=CD•（CD+DE），可以求得DE的长度，进而求得CE的长度；再求得BP的长度即可，在Rt△CPB中，CP=3，CB=2，则可求得EF的长度．

解答：解：（1）连接PB，PA，
∵点P在⊙O上，
∵⊙O的弦AC切⊙P于点A，
∴∠CAP=90°，
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PBC=90°，即PB⊥CB．
∵B在⊙P上，
∴CB是⊙P的切线．

（2）∵CB是⊙P的切线，
∴CB²=CD•（CD+DE）．
∵CD=2，CB=2

2

，
∴（2

2

）2═2×（2+ED）．
∴DE=2．
∴CE=CD+DE=2+2=4．
∴在⊙P中，PD=PE=

1

2

ED=1，
∵CP=3，CB=2

2

，
∴BP=1．
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=∠CBP=90°，∠FCE=∠PCB．
∴△FCE∽△PCB．
∴

CB

CE

=

BP

EF

，
∵CB=2

2

，CE=4，BP=1，
∴

2 2

4

=

1

EF

，
∴EF=

2

．

点评：本题考查的是相交两圆的性质、切线的判定和切线的性质以及相似三角形的判定和相似三角形的性质，题目的综合性不小，属于中档题．