Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点M以每秒1cm的速度从点B向点C移动；同时动点N以3cm的速度从点C向A移动，当点N到达点A时，两点都停止移动，连接MN，设移动时间为t秒．
（1）当t为何值时，S_△MNC=S_{四边形ABMN}？
（2）当t为何值时，△MNC与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）由题意可知：CM=6-t，CN=3t，因为S_△MNC=S_{四边形ABMN}，所以S_△MNC是△ABC的面积一半，由此列出方程解答即可；
（2）分两种情况：△MCN∽△ACB，△MCN∽△BCA，得出对应线段的比计算得出答案即可．

解答 解：（1）∵AC=8cm，BC=6cm，
∴S_△ABC=24cm²，
∵CM=6-t，CN=3t，S_△MNC=S_{四边形ABMN}，
∴$\frac{1}{2}$×3t（6-t）=12，
解得：t₁=2，t₂=4；
∵当点N到达点A时，两点都停止移动，
∴0＜t＜$\frac{8}{3}$，
∴当t=2时，S_△MNC=S_{四边形ABMN}．
（2）①当△MCN∽△ACB时，
则$\frac{MC}{AC}$=$\frac{CN}{CB}$，
即$\frac{6-t}{8}$=$\frac{3t}{6}$，
解得：t=$\frac{6}{5}$；
②当△MCN∽△BCA时，
则$\frac{MC}{CB}$=$\frac{CN}{AC}$，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{3t}{8}$，
解得：t=$\frac{24}{13}$，
答：当t为$\frac{6}{5}$，或$\frac{24}{13}$时，△MNC与△ABC相似．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，相似的性质，掌握三角形的面积和分类探讨是解决问题的关键．