Question

如图（1），在等边的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发△ABC分别以每分钟1各单位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：
（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？
（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．
（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，根据SAS推出△BDC≌△APB即可．
（2）根据△BDC≌△APB得出∠CBD=∠BAP，根据三角形外角性质求出∠DQA=∠ABC，即可求出答案．
（3）求出CP=AD，∠ACP=∠BAD，根据SAS推出△ABD≌△ACP，求出∠CAP=∠ABD，求出∠AQD=∠CAP+∠QAB=180°-∠CAB，即可求出答案．

解答：解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
在△BDC和△APB中，

BC=AB ∠C=∠ABP CD=BP

，
∴△BDC≌△APB（SAS），
∴BD=AP．

（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，
理由：∵△BDC≌△APB，
∴∠CBD=∠BAP，
∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，
即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．

（3）蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了，
理由是：根据题意得：BP=CD，
∵BC=AC，
∴CP=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=∠ACB=60°，
∵∠ACP+∠ACB=180°，∠DAB+∠CAB=180°，
∴∠ACP=∠BAD，
在△ABD和△ACP中，

AB=AC ∠BAD=∠ACP AD=CP

，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴∠CAP=∠ABD，
∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB
=180°-∠CAB
=180°-60°
=120°，
即蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了，等于120°．

点评：本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应边相等，对应角相等．