Question

（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；
（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）证明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可证．
（2）证明△ABC∽△EDC后可推出∠EAC=∠ACB，由此可证．

解答：证明：（1）∵△ABC和△EDC是等边三角形
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=CB，EC=DC，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠EAC，
∴AE∥BC；

（2）仍平行；
∵△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

AC

EC

=

BC

DC

，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△AEC∽△BDC，
∴∠EAC=∠B，
又∵∠ACB=∠B，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．

点评：本题考查的是全等三角形的判定以及相似三角形的判定的有关知识．关键是证明△ACE≌△BCD和△ABC∽△EDC．