Question

10．抛物线y=ax²+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，P（1，-3），B（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若F为x轴上一点，且FO=OP，求点F的坐标；
（3）若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设F（q，0），利用已知条件FO=OP列出关于q的方程，通过解方程求得q的值，易得F点的坐标；
（3）根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；

解答 解：（1）将P（1，-3）、B（4，0）代入y=ax²+c，得
$\left\{\begin{array}{l}16a+c=0\\ a+c=-3\end{array}\right.$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$．
抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$；

（2）设F（q，0），则1²+3²=q²，
解得：q=$±\sqrt{10}$，
∴点F的坐标为$（{\sqrt{10}，0}）$，$（{-\sqrt{10}，0}）$；

（3）如图1：当D在P左侧时，
由∠DPO=∠POB得DP∥OB．
D与P关于y轴对称，P（1，-3）得D（-1，-3）．
如图2，当D在P右侧时，即图中D₂，则∠D₂PO=∠POB，延长PD₂交x轴于Q，则QO=QP，
设Q（q，0），则（q-1）²+3²=q²，解得：q=5，
∴Q（5，0），
则直线PD₂为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$，
再联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$ 得：x=1或$\frac{11}{4}$，
∴D₂（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$ ）．
∴点D的坐标为（-1，-3）或（$\frac{11}{4}，-\frac{27}{16}$）．

点评 本题综合考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、二次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数构建方程解决问题，所以中考常考题型．