Question

18．抛物线y=x²-2mx+m²-4与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若CD∥x轴，点D在点C的左侧，CD=$\frac{1}{2}$AB，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在直线x=t右侧的部分沿直线x=t翻折后的图形记为G，若图形G与线段CD有公共点，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴x=1可以求得m的值，即可解题；
（2）易求A、B坐标，即可求得AB长度，即可求得CD长度，即可解题；
（3）作出图形，根据图形G与线段CD有公共点，即可求得最大翻转和最小翻转，即可解题．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2mx+m²-4=（x-m）²-4，其对称轴为x=1，
∴m=1．
∴该抛物线的表达式为y=x²-2x-3；
（2）当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）．
∴AB=4．
当x=0时，y=-3，
∴抛物线与y轴的交点为C（0，-3）．
∵$CD=\frac{1}{2}AB$，∴CD=2．
∵CD∥x轴，点D在点C的左侧，
∴点D的坐标为（-2，-3）．
 （3）作出图形，

图形G与线段CD有公共点，
最小翻折为点E翻转后E₁ 和点C重合，此时x=1，
最大翻折为点C翻转后C₁ 和点D重合，此时x=-1，
∴当-1≤t≤1时，图形G与线段CD有公共点．

点评 本题考查了抛物线与坐标轴交点的计算，考查了抛物线对称轴的计算，本题中作图找到最大和最小翻转是解题的关键．