Question

正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，若∠BAE=30°，

∠DAF=15°．

（1）试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

（2）若正方形的边长为，求△AEF的面积；

（3）若连接BD，交AE于M、交AF于N，请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

（1）解：EF=BE+DF   

证明：延长CB至G，使BG=DF，连结AG．（如图）   …………  1分

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD，∠ABC=∠ABG=∠D=∠BAD=90°

∴△ABG≌△ADF (SAS)                     …………  2分

∴∠GAB=∠DAF=15°，AG=AF       

∵AE=AE

∴△AGE≌△AFE(SAS)

∴EF=EG

∵EG=BG+BE=BE+DF

∴EF=BE+DF                              …………  3分

(2)过点A作AH⊥EF于H（如图），         

∵∠BAE=30°，∠ABE=90°，AB=

∴BE=1，

∴EC=-1                    …………  4分

由（1）中△AGE≌△AFE可得∠AEB=∠AEF

∴∠AEB=∠AEF=60°

∴∠FEC=60°

∴EF=2EC=2-2              …………  5分

又∵∠ABE=∠AHE=90°，AE=AE

∴△ABE≌△AHE(AAS)

∴AH=AB=

∴S_△AEF=         …………  6分

(3)BM²+DN²=MN²

证明：过点A作AN′⊥AN，且使AN′=AN，连接BN′、MN′（如图）．

在正方形ABCD中

∵∠BAM=30°， ∠NAD=15°

∴∠NAM=45°

∴∠N′AM=∠NAM=45°

∵AM=AM

∴△AN′M≌△ANM(SAS)                   …………  7分

∴MN′=MN

∵AB=AD， ∠BAD=90°

∴∠DAN+∠BAN=90°

∵∠N′AB+∠BAN=90°

∴∠N′AB=∠DAN=15°

∵AN′=AN

∴△ABN′≌△AND(SAS)                …………  8分

∴∠N′BA=∠D=∠ABD=45°

BN′= DN

∴∠N′BM=90°                      …………  9分

∵N′B²+BM²=N′M²

∴BM²+DN²=MN²                                      …………  10分

【相关知识点】全等三角形的判定、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的判定

【解题思路】(1)在证明两条线段的和等于第三条线段时，往往利用截长补短的方法解决.（3）中需通过添加辅助线，把BM、DN、MN放在同一个三角形中来解决.